So finden Sie alle
Pythagoreische Tripel

© 26.12.1999 Heinz Becker

b =( a 2 - m 2 ) / 2 / m	»	b = ( a2 / m - m ) / 2	»	c = b + m	m | a 2	m = a - 2 .....u.s.w.
( a2 / m )   muß ganzzahlig sein.    Wenn    a    gerade ist , so muß auch    ( a2 / m )   gerade sein !

Pythagoras - Tripel
So wie es nicht im Lexikon steht !

start Pythagorean Triples Generator with input of a	Pythagoras-Tripel EXE-Programm load/start 38 KB schneller als JS , weniger detailiert
start Pythagorean Triplets Generator with input of c	Pythagoras im Bilde

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Beginn für  a  = 15 ( ungerade )

Wieviele und welche Tripel sind möglich? ( Beispiel mit a = 15 )
Wir nehmen alle Teiler von a² (Bsp.=225) , beginnend mit a - 2 (Bsp.=13) , jeweils um 2 reduziert.

225	/	13	=	17	Rest 4
225	/	11	=	20	Rest 5					b	+ m	= c			Wir erhalten 4 Lösungen für
225	/	9	=	25	- 9		=	16	/ 2 =	8	+ 9	= 17			m = { 9 ; 5 ; 3 ; 1 }
225	/	7	=	32	Rest 1										( jeweils in den gelben Feldern )
225	/	5	=	45	- 5		=	40	/ 2 =	20	+ 5	= 25			wobei auch die Quotienten
225	/	3	=	75	- 3		=	72	/ 2 =	36	+ 3	= 39			ganzzahlig und ungerade sind
225	/	1	=	225	- 1		=	224	/ 2 =	112	+ 1	=113

symbolisiert echte Tripel , weil  m  keinen gemeinsamen Teiler zu  b = ( a² / m - m ) / 2  hat

m

( a2- m2) / 2 /m

= b

+ m

= c

a 2

+ b 2

= c 2

(a-m)/2=

rho

9

(225 - 81 ) / 2 / 9

= 8

+ 9

= 17

15 2

+ 8 2

= 17 2

(15-9)/2=

3

5

(225 - 25 ) / 2 / 5

= 20

+ 5

= 25

15 2

+ 20 2

= 25 2

(15-5)/2=

5

3

(225 -  9 ) / 2 / 3

= 36

+ 3

= 39

15 2

+ 36 2

= 39 2

(15-3)/2=

6

1

(225 -  1 ) / 2 / 1

= 112

+ 1

= 113

15 2

+ 112 2

= 113 2

(15-1)/2=

7

rho ist der Radius des Inkreises
Ende für  a  ist ungerade

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Beginn für  a  = 20 ( gerade )

Wieviele und welche Tripel sind möglich? ( Beispiel mit a = 20 )
Wir nehmen alle Teiler von a² (Bsp.=400) , beginnend mit a - 2 (Bsp.=18) , jeweils um 2 reduziert.

400	/	18	=	22	Rest 4
400	/	16	=	25	ungerade
400	/	14	=	28	Rest 8										Wir erhalten 4 Lösungen für
400	/	12	=	23	Rest 4					b	+ m	= c			m = { 10 ; 8 ; 4 ; 2 }
400	/	10	=	40		- 10	=	30	/ 2 =	15	+ 10	= 25			( jeweils in den gelben Feldern )
400	/	8	=	50		- 8	=	42	/ 2 =	21	+ 8	= 29			wobei auch die Quotienten
400	/	6	=	66	Rest 4										ganzzahlig und gerade sind
400	/	4	=	100		- 4	=	96	/ 2 =	48	+ 4	= 52
400	/	2	=	200		- 2	=	198	/ 2 =	99	+ 2	= 101

symbolisiert echte Tripel , weil   m  keinen gemeinsamen Teiler zu  b = ( a² / m - m ) / 2  hat

m

( a2- m2)  / 2 / m

= b

+ m

= c

a 2

+ b 2

= c 2

(a-m)/2=

rho

10

(400 - 100 ) / 2 / 10

= 15

+ 10

= 25

20 2

+ 15 2

= 25 2

(20-10)/2=

5

8

(400 -  64 ) / 2 /   8

= 21

+ 8

= 29

20 2

+ 21 2

= 29 2

(20-8)/2=

6

4

(400 -  16 ) / 2 /   4

= 48

+ 4

= 52

20 2

+ 48 2

= 52 2

(20-4)/2=

8

2

(400 -   4 ) / 2 /   2

= 99

+ 2

= 101

20 2

+ 99 2

= 101 2

(20-2)/2=

9

rho ist der Radius des Inkreises

Ende für  a  ist gerade

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Listing in Power Basic

cls:input "Geben Sie einen ganzzahligen Wert >2 für  a  ein ",  a pythagoras: cls:x=0:y=0:defdbl b  for m=a-2 to 1 step -2            b=(a^2-m^2)/m/2     if b-int(b)=0 then            c=b+m:x=x+1:y=y+1                print using "#####";y;: print ".";                print using "##############";a;: print "² +";                print using "##############";b;: print "² =";                print using "##############";c;: print "²"                       if x=20 then x=0           if x=0 then print:print "Weiter mit Return";:input "",e$:print     end if  next m print:print " ©01.09.1995 Heinz Becker    24539 Neumünster   Travestr. 2" print:print "Weiter mit neuer ganzzahligen Werteingabe für a >2;  ( 0 = Ende ) ",a if a >2 then goto pythagoras

Das Programm benötigt nur eine Schleife
beginnend mit a-2 nach 1 in 2-er-Schritten
Die JavaScript-Programme nutzen den gleichen Algorithmus

b =( a 2 - m 2 ) / 2 / m	»	b = ( a2 / m - m ) / 2	»	c = b + m	m | a 2	m = a - 2 .....u.s.w.
Der Quotient von ( a2 / m ) muß ganzzahlig sein. Ist a gerade , so muß der Quotient auch gerade sein !
aber auch :		c = ( a2 / m + m ) / 2	»	b = c - m	Zahlen sind lebendig !

Erläuterung der F O R M E L b = ( a 2 - m 2 ) / 2 / m b = ( a2 / m - m ) / 2 c = b + m © 16.07.2001 Heinz Becker

und die Formel - Erläuterung für rho

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