Pythagoreische Formel - Erläuterung


©16.07.2001 Heinz Becker    Travestr.2    24539 Neumünster

Schauen wir uns mal alle Quadratzahlen für n=1 bis n=50 an:
und schauen wir, wo die Differenz von Quadtratzahlenpaaren wiederum
eine Quadratzahl ist:
Wir finden:
I.   ......   II.   =   delta
16   25   9
144   169   25
576   625   49
1600   1681   81

In Tripelform:
delta   +   I.   =   II.
9   16   25
25   144   169
49   576   625
81   1600   1681

In Potenzform:
a ²   +   b ²   =   c ²
3 ²   4 ²   5 ²
5 ²   12 ²   13 ²
7 ²   24 ²   25 ²
81   40 ²   41 ²

Es fällt auf , daß c immer um 1 größer als b ist.
Augenscheinlich ist, daß b etwa die Hälfte von a2 ist.
Nehmen wir 2*b , so fehlt an a2 nur noch 1 !

Daraus folgt: b=(a2-1)/2 , und ( wie bereits festgestellt ) c=b+1

Dieses gilt aber nur für ein ungerades a , damit b ganzzahlig bleibt.
Bei geradem a geht es nicht , das ergibt sich aus der Formel.

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Kann man nun b immer von a aus ermitteln?

Wir untersuchen zunächst die beiden Tripel:

32 + 42 = 52        und   52 +122 = 132

und multiplizieren diese z. B. mit 4

das ergibt

122 + 162 = 202        und   202 +482 = 522

Die Differenz von c zu b ist 4, nun als m bezeichnet

Aber wie erhalte ich b , von a ausgehend?

12 zu 16                  20 zu 48

Wir benutzen die Formel von oben: b = ( a2 - 1 ) / 2

und ersetzen 1 durch x und 2 durch y.

Das ergibt: b = ( a2 - x ) / y

Die beiden letzten Tripel eingesetzt:

   16 = ( 122 - x ) / y            48 = ( 202 - x ) / y

16 y = ( 122 - x )              48 y = ( 202 - x )

16 y = 144 - x                  48 y = 400 - x

     x = 144 - 16 y                  x = 400 - 48 y

Gleichgesetzt:

144 - 16 y = 400 - 48 y

32 y = 256

y = 8 ( Das ist gleich 2*m )

y = 8 einsetzen in x = 144 - 16 y

x = 144 - 16*8

x = 144 - 128

x = 16 ( Das ist gleich m2 )

Versuche mit anderen Tripel bestätigen: y = 2*m und x = m2

Durch Einsetzen in die Formel b = ( a2 - x ) / y ergibt sich:

b = ( a2 - m2 ) / 2 / m

c = b + m


Überprüfung der Formel:

a2 + b2    =    c2
a2 +( ( a2 - m2 ) / 2 / m )2    =    ( b + m )2   b und c eingesetzt
a2 + ( ( a2 - m2 ) / 2 / m )2    =    ( ( ( a2 - m2 ) / 2 / m ) + m )2   b eingesetzt
a2 + ( ( a2 - m2 ) / 2 / m )2    =    ( ( a2 - m2 + 2m2 ) / 2 / m )2   m in die Klammer multipliziert mit 2 m
a2 + ( ( a2 - m2 ) / 2 / m )2    =    ( ( a2 + m2 ) / 2 / m )2   zusammengefaßt
a2 + ( a4 - 2a2m2+m4 ) / 4 / m2    =    ( a4 + 2a2m2+m4 ) / 4 / m2   quadriert
4a2m2 + a4 - 2a2m2 + m4    =    a4 + 2a2m2+m4   multipliziert mit 4m2
4a2m2 - 2a2m2 + m4    =    2a2m2+m4   minus a4
4a2m2 - 2a2m2    =    2a2m2   minus m4
2a2m2    =    2a2m2   zusammengefaßt



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Unsere Formel steht:     b = ( a2 - m2 ) / 2 / m   und   c = b + m

Vereinfachung der Formel:  b = ( a2 - m2 ) / 2 / m
m in die Klammer ergibt:     b = ( a2/m - m2 / m ) / 2
Kürzen von m2 / m ergibt:  b = ( a2 / m - m ) / 2



Hier möchte ich noch den sehr eleganten Lösungsweg von Dr. Eckard Specht
von der Universität Magdeburg vorstellen.
Zunächst aber nachfolgend den Auszug des betreffenden E-mails vom 13.Juli 2000.
----- Original Message -----
From: Dr. Eckard Specht
To: Heinz Becker
Sent: Thursday, July 13, 2000 9:54 AM
Subject: Pythagoreische Zahlentripel

>
> Sehr geehrter Herr Becker!
>
> Hab mir Ihre Seite angesehen und musste mich erst einmal zurechtfinden,
> wie Sie auf Ihre Formel gekommen sind:
>
> a^2 + b^2 = c^2
> a^2 = c^2 - b^2 = (c - b) (c + b) = m (c + b) = m (2 b + m)
>
> Umstellen nach b liefert
>
> b = (a^2 - m^2) / (2 m) mit m = c - b.
>
> Ok. Bin mir aber nicht sicher, ob das nicht schon seit langem bekannt
> ist. Gerade im angelsaechsischen Sprachraum gibt es eine Unmenge an
> Buechern zu derartigen Problemstellungen, die man unmoeglich alle kennen
> kann.
Diese binomische Herleitung der Formel von Herrn Dr. Specht gefällt mir so gut ,
daß ich an dieser Stelle die Einzelschritte nachvollziehen möchte:
Zunächst die Werte für
( c - b ) und ( c + b ) ermitteln:
c = b + m
+b auf die linke Seite als -b
1. Termc - b = m
+ 2b auf beiden Seiten
2. Termc + b=m + 2b

a2 + b2 = c2 + b2 nach rechts als - b2
a2 = c2 - b2 ( c2 - b2 ) als Binom schreiben
a2 = ( c - b ) ( c + b ) m für ( c - b ) einsetzen , 1. Term von oben
a2 = m ( c + b ) ( 2b + m ) für ( c + b ) einsetzen , 2. Term von oben
a2 = m ( 2b + m ) ausklammern
a2 = 2bm + m2 + 2 bm nach links als - 2 bm
a2 - 2 bm = m2 a2 nach rechts als - a2
- 2 bm = - a2 + m2 alle Vorzeichen umkehren
2 bm = a2 - m2 * 2m nach rechts als / ( 2m )
b = ( a2 - m2) / ( 2m ) gilt unter der Bedingung: b = c - m
und m in die Klammer genommen ergibt:
b = ( a2 / m - m ) / 2


Nur , wie kommen wir an ganzzahlige Lösungen für    c = b + m ?

b   ist ganzzahlig ; dann muß   m   auch ganzzahlig sein ,

um ein ganzzahliges   c   zu erhalten.

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Welche Bedingungen treffen nun bei      b = ( a2 - m2 ) / 2 / m     zu ?

( a2 - m2 )      darf nicht     0    sein , daraus folgt:    m   ist kleiner als    a   und

m  als Teiler darf nicht    0    sein , daraus folgt:    m    ist größer als    0

Also:   m    ist eine Zahl zwischen    1    und    ( a - 1 ) ,

aber wir überprüfen noch , was ist , wenn   a   gerade oder ungerade ist.

( a2 - m2 ) muß gerade sein, weil der Term durch   2   teilbar sein soll.

daraus folgt: Ist   a   gerade , dann ist auch   m   gerade ,

ebenso: ist   a   ungerade , dann ist auch   m   ungerade.


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Zusammengefaßt:

Ist   a   gerade , dann ist auch   m   eine gerade Zahl zwischen 2 und ( a - 2 ) ,

Ist   a   ungerade , dann ist auch   m   eine ungerade Zahl zwischen 1 und ( a - 2 ).



In dem Programm habe ich in der Schleife in umgekehrter Reihenfolge zählen lassen ,

weil dann   m    mit ( a - 2 ) beginnt und bis   1   in 2 - er - Schritten runtergezählt wird.

Und der Vorteil , die Ergebnisse werden in aufsteigender Reihenfolge ermittelt.

Deshalb die Schleife: for m = ( a - 2 ) to 1 step -1........ next m

dann wird   b   ermittelt über:   b= ( a2 - m2 ) / 2 / m   und auf Ganzzahligkeit überprüft.

Ist   b   ganzzahlig , dann ist    c   gleich   b + m    und das Ergebnis wird angezeigt.

Wieviele Lösungen gibt es für    a   ?

Es gibt soviele Lösungen , wie Sie für   a2   ganzzahlige Quotienten erhalten ,
wobei  m  kleiner als   a    ist , und zudem ganzzahlige Divisoren sind .
( höchstens jedoch int((a-1)/2) ; entspricht der Anzahl der Rechenoperationen )

Ist   a   eine ungerade Zahl , so müssen   m   und die Ouotienten auch ungerade sein.
Ist   a   eine   gerade   Zahl , so müssen   m   und die Ouotienten auch   gerade   sein.

Je ein Beispiel für ein ungerades und gerades   a    habe ich auf der Seite

                             __ P Y T H A G O R A S __

( oder eine Seite zurück , wenn Sie von da gekommen sind ) , erläutert.



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