© Heinz Becker , 24539 Neumünster , Travestr.2

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Erläuterung

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Je ein rho entspricht der Höhe eines blauen , grünen und roten Teildreieckes.
Die Fläche der 3 inneren Dreiecke ist gleich der Fläche des Außendreieckes.

a*rho/2 + b*rho/2 + c*rho/2	=	a*b / 2
in allen Produkten /2 streichen		wenn auf der linken Seite , dann auch auf der rechten Seite
a*rho + b*rho + c*rho	=	a*b
rho ausklammern
rho ( a + b + c )	=	a*b
* ( a + b + c ) auf die rechte Seite als		/( a + b + c ) Seitenwechsel = Vorzeichenwechsel
rho	=	a*b / ( a + b + c )

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Beispiel am Standard-Dreieck: a=3 ; b=4 ; c=5

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eingesetzt in rho = a*b / ( a + b +c )

rho = a*b / ( a + b +c )
rho = 3*4 / ( 3 + 4 +5 )
rho = 12 / 12
rho = 1

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und eingesetzt in rho =( a + b - c ) / 2

rho = ( a + b -c ) / 2
rho = ( 3 + 4 -5 ) / 2
rho = 2 / 2
rho = 1

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Die Formelherleitung für rho = ( a + b -c ) / 2 :



Zunächst mal 4 Tripel:

a ²	+	b ²	=	c ²	rho
3		4		5	1
5		12		13	2
7		24		25	3
9		40		41	4

In all diesen Fällen ist der Inkreisradius = ( a - 1 ) / 2
die 1 in der Klammer ist gleich c - b !


und bei geradem  a:

a ²	+	b ²	=	c ²	rho
10		24		26	4
12		35		37	5
14		48		50	6
16		63		65	7
18		80		82	8
20		99		101	9

In all diesen Fällen ist der Inkreisradius = ( a - 2 ) / 2
die 2 in der Klammer ist gleich c - b !


Eingesetzt in ( a - 2 ) / 2
ergibt ( a - ( c - b ) ) / 2 = ( a + b - c ) / 2

also: rho = ( a + b - c ) / 2

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Die Überprüfung der beiden Formeln :

die 2. Formel	=	die 1. Formel
( a + b - c ) / 2	=	ab / ( a + b + c )
/ 2 auf der rechten Seite mit Vorzeichenwechsel als		* 2 zufügen
( a + b - c )	=	2ab / ( a + b + c )
* ( a + b + c ) zufügen mit Vorzeichenwechsel von rechts		/ ( a + b + c ) streichen
( a + b - c ) * ( a + b + c )	=	2ab
ausklammern
a ² + ab + ac + ab + b ² + bc - ac - bc - c ²	=	2ab
- ac - bc - c² streichen mit Vorzeichenwechsel nach rechts		+ ac + bc+ c² zufügen
a ² + ab + ac + ab + b ² + bc	=	2ab + ac + bc + c ²
sortieren		sortieren
a ² + b ² + ab + ac + ab + bc	=	c ² + 2ab + ac + bc
die beiden + ab als + 2 ab zusammenfassen
a ² + b ² + 2ab + ac + bc	=	c ² + 2ab + ac + bc
+ bc streichen , jeweils auf beiden Seiten		+ bc streichen
a ² + b ² + 2ab + ac	=	c ² + 2ab + ac
+ ac streichen , jeweils auf beiden Seiten		+ ac streichen
a ² + b ² + 2ab	=	c ² + 2ab
+ 2ab streichen , jeweils auf beiden Seiten		+ 2ab streichen
a ² + b ²	=	c ²

Dies gilt nur für das rechtwinklige Dreieck .

Somit ist die Formel rho = ( a + b - c ) / 2
im rechtwinkligen Dreieck einsetzbar .

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Lang genug das Bild betrachtet ,
Einfacheres erachtet !

c	=	rot von a + blau von b
		rot von a durch a - rho ersetzen und  blau von b durch b - rho ersetzen
c	=	a - rho + b - rho
		rho zusammenfassen
c	=	a + b - 2*rho
Seitenwechsel = Vorzeichenwechsel		- 2*rho nach links als + 2*rho
c + 2*rho	=	a + b
+ c nach rechts als - c		Seitenwechsel = Vorzeichenwechsel
2*rho	=	a + b - c
*2 nach rechts als / 2		" Strichwerte umklammern  wegen Punktwert / 2 "
rho	=	( a + b - c ) / 2

Im - Prgramm ist ( c - b ) durch m ersetzt.

Eingesetzt in :
rho = ( a - ( c - b ) ) / 2

ergibt :
rho = ( a - m ) / 2



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Ergebnisse dieser Formel können Sie sich anschauen ,
wenn Sie diese Zeile anklicken .
Jedem Tripel ist ein rho zugeordnet.
Dort ist rho durch    markiert.

Viel Spaß dabei

Heinz Becker

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